Üçgen Alanı ve Kenar Hesaplama

Kenarları 13, 14 ve 15 birim olan üçgenin alanı 84 birim², çevresi 42 birimdir. Üçgen alan hesaplama için yükseklik şart değildir; üç kenar biliniyorsa Heron bağıntısı yeterlidir. Yalnız taban ve ona ait dik yükseklik biliniyorsa bu iki uzunluğun çarpımının yarısı alınır.

Elinizdeki ölçüye göre hangi modu seçmelisiniz?

İki kenar, aralarındaki açı bilinmeden genel bir üçgeni belirlemez. Dik üçgen modunda üçüncü bilgi, açının 90° olmasıdır. İki kenar ile bu kenarların arasında olmayan bir açı verildiğinde de her zaman tek çözüm çıkmaz. OpenStax’ın sinüs teoremi açıklamasındaki belirsiz durumda sıfır, bir veya iki üçgen oluşabilir. Araç bu tür açı girişlerini desteklemez.

Taban ve yükseklikten alanı bulma

Üçgen alan hesaplama formülü alan = taban × dik yükseklik ÷ 2 biçimindedir. Yükseklik, karşı köşeden tabanın bulunduğu doğruya indirilen dik uzaklıktır. Üçgen eğik çizilmiş olsa da yan kenar kendiliğinden yükseklik sayılmaz. Geniş açılı üçgende yüksekliğin taban uzantısına inmesi formülü değiştirmez. MEB’in üçgende alan özeti de taban ile o tabana ait yüksekliği birlikte kullanır.

Örneğin üçgen biçimli bir yüzeyin tabanı 7,2 m, dik yüksekliği 4,5 m ise alan 7,2 × 4,5 ÷ 2 = 16,2 m² olur. 4,5 m ölçüsü eğik kenara aitse bu hesap geçerli değildir. Önce dik yüksekliği ölçmeniz veya üç kenarı bilmeniz gerekir.

Üçgen metrekare hesaplama yaparken uzunlukları metreye çevirin veya doğru birimi seçin. Tabanı 720 cm ve yüksekliği 450 cm olan aynı yüzey 162.000 cm²’dir. Santimetre seçildiğinde sonuçta 16,2 m² karşılığı da görünür. Uzunlukta 100 cm = 1 m iken alanda 10.000 cm² = 1 m² olması, sık yapılan yüz katlık birim hatasını önler. Birimi değiştirmek girişteki sayıları dönüştürmez.

Üç kenardan alan, çevre ve açı hesaplama

Üçgen çevre hesaplama işlemi a + b + c toplamıdır. Alan için önce yarı çevreyi bulun: s = (a + b + c) ÷ 2. Ardından alan = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)] bağıntısını kullanın. OpenStax’ın Heron ve kosinüs teoremi bölümü, yükseklik verilmeden üç kenarla çözümün temelini açıklar.

13, 14 ve 15 birimlik örnekte yarı çevre 21’dir. Alan √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 çıkar. 14 birimlik kenara ait yükseklik ise 2 × 84 ÷ 14 = 12 birimdir. Bu yüksekliği taban ve yükseklik modunda 14 ile kullanınca yine 84 bulunur.

Üçgen açı hesaplama için kenarla karşısındaki açıyı eşleştirin. Örneğin c kenarının karşısındaki C açısı cos C = (a² + b² - c²) ÷ (2ab) bağıntısıyla bulunur. Buradaki cos⁻¹ ters kosinüstür; kosinüsün bir bölü değeri değildir. Araç açıları derece olarak gösterir.

Dik üçgen kenar hesaplama: hipotenüs mü, dik kenar mı?

Dik açının karşısındaki en uzun kenar hipotenüstür. Bu araçta hipotenüs c, dik kenarlar a ve b olarak adlandırılır. MEB’in Pisagor teoremi anlatımındaki temel ilişki, hipotenüsün karesinin dik kenarların kareleri toplamına eşit olmasıdır.

İki dik kenar biliniyorsa c = √(a² + b²) kullanılır. Dik üçgen hipotenüs hesaplama örneğinde a = 9 ve b = 12 için c = √(81 + 144) = 15 olur. Dik üçgen alan hesaplama için aynı dik kenarlar doğrudan taban ve yükseklik görevi görür: 9 × 12 ÷ 2 = 54 birim².

Hipotenüs ve bir dik kenar biliniyorsa kareler toplanmaz, çıkarılır: b = √(c² - a²). a = 8 ve c = 17 girildiğinde b = 15, alan = 60 ve çevre = 40 bulunur. Hipotenüs 8 veya daha küçük girilirse pozitif uzunluklu bir dik üçgen oluşmaz.

Dik üçgen açı hesaplama sonucunda C her zaman 90°’dir. a = 9, b = 12 örneğinde A yaklaşık 36,87°, B yaklaşık 53,13° olur. Bu açılar dik kenarların oranına bağlıdır; kenarların ikisini de iki katına çıkarırsanız açılar aynı kalır, alan dört katına çıkar.

Eşkenar, ikizkenar ve 30°-60°-90° üçgenleri

Eşkenar üçgen alan hesaplama için bir kenarın uzunluğu yeterlidir: alan = a²√3 ÷ 4. Eşkenar üçgen yükseklik hesaplama bağıntısı h = a√3 ÷ 2 olur. Üç kenar moduna 10, 10 ve 10 yazdığınızda yaklaşık 43,3 birim² alan, 8,66 birim yükseklik ve 60°’lik üç açı görürsünüz.

İkizkenar üçgende eş kenar q, taban t ise tabana inen yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. Böylece h = √[q² - (t ÷ 2)²] ve alan = t × h ÷ 2 elde edilir. Eş kenarlar 13, taban 10 olduğunda yükseklik 12 ve alan 60’tır. Üç kenar moduna 13, 13 ve 10 girerek bu değerleri bulabilirsiniz.

İkizkenar üçgen kenar hesaplama yaparken taban ile yükseklik biliniyorsa dik üçgen moduna tabanın yarısını ve yüksekliği yazın. Taban 10, yükseklik 12 örneğinde 5 ile 12’den bulunan hipotenüs 13’tür; bu, ikizkenar üçgenin eş kenarlarından biridir. Tabanın tamamını yazmak farklı bir üçgeni hesaplar.

30°-60°-90° üçgeninde bu açıların karşısındaki kenar oranı sırasıyla 1 : √3 : 2 olur. Kısa dik kenar 4 ise uzun dik kenar yaklaşık 6,93, hipotenüs 8’dir. Araçta bir dik kenar ve hipotenüs seçip a = 4, c = 8 yazabilirsiniz. Diğer kenar 4√3, alan 8√3 ≈ 13,86 birim² bulunur.

Üçgen eşitsizliği ve yuvarlamaya dikkat

Her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır. MEB’in üçgen eşitsizliği çerçevesinde ele alınan bu şart nedeniyle 4, 6 ve 10 uzunlukları üçgen oluşturmaz; üç nokta aynı doğru üzerinde kalır. 4, 6 ve 9,99 ise geçerli, çok basık bir üçgendir. İki durumun ayrımı yalnızca 0,01 birimdir.

Ölçüleri üçgen oluşsun diye değiştirmeyin. Özellikle basık üçgenlerde küçük ölçüm farkı alanı belirgin biçimde değiştirebilir. Araç, eşitsizlik sınırında sayısal olarak ayırt edilemeyen girişlerde daha hassas ölçü ister. Bu uyarı, fiziksel ölçünüzün kesin doğruluğunu değerlendiren bir ölçüm testi değildir.

Girişler 0,000000000001 ile 1.000.000.000.000 arasında pozitif uzunluklar olmalıdır. Sonuçlar genellikle en fazla iki ondalıkla gösterilir; 0,01’den küçük veya bir trilyon ve üzerindeki değerler üç anlamlı basamaklı bilimsel gösterim kullanır. Kopyalanan sonuçlar da ekrandaki yaklaşık değerlerdir. Yuvarlanmış üç açının toplamı 179,99° veya 180,01° görünebilir. Devam eden işlemlerde erken yuvarlama yapmayın; birimler arasında ayrıntılı dönüşüm için Birim Çevirici kullanılabilir.