120’nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi 2³ × 3 × 5 olur. Buradaki farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir; 2’nin üç kez kullanılması yeni bir asal çarpan türü oluşturmaz. Asal çarpanlara ayırma, 1’den büyük bir tam sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımıyla yazmaktır. Asal sayı ise 1’den büyük olup pozitif bölenleri yalnızca 1 ve kendisi olan sayıdır.
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma adımları
Asal çarpan algoritmasında sayıyı bölen en küçük asaldan başlanır. Aynı asala bölünebildiği sürece devam edilir; bölünemediğinde sonraki asal denenir. MEB’in çarpanlar ve katlar materyallerinde de kullanılan bölme yöntemiyle 120 için işlem şöyledir:
- 120 ÷ 2 = 60, ardından 60 ÷ 2 = 30 ve 30 ÷ 2 = 15. Böylece üç tane 2 elde edilir.
- 15 artık 2’ye tam bölünmez. 15 ÷ 3 = 5 işleminden bir tane 3 gelir.
- 5 ÷ 5 = 1 olduğunda işlem biter. Sağ tarafta kullanılan asallar 2 × 2 × 2 × 3 × 5, üslü biçimde 2³ × 3 × 5’tir.
Çarpan ağacında ise 120 önce 12 × 10 olarak ayrılabilir. 12’yi 3 × 4, 4’ü 2 × 2 ve 10’u 2 × 5 biçiminde açınca aynı asallar bulunur. Ağaçta 4 veya 10 gibi bileşik bir sayı kaldıysa ayrıştırma henüz bitmemiştir. Araç, ağaç çizimi yerine her tam bölmeyi tabloyla gösterir.
Asal çarpan sayısı ile bölen sayısı aynı şey değildir
120 için üç ayrı sorunun cevabı farklıdır: 3 farklı asal çarpan vardır, tekrarlar dahil çarpımda 5 asal sayı yer alır ve sayının 16 pozitif böleni bulunur. Son grupta 1, 4, 6 ve 120 gibi asal olmayan bölenler de sayılır.
| Sayı | Üslü ayrışım | Farklı asal sayısı | Tekrarlar dahil | Pozitif bölen sayısı |
|---|---|---|---|---|
| 60 | 2² × 3 × 5 | 3 | 4 | 12 |
| 120 | 2³ × 3 × 5 | 3 | 5 | 16 |
| 225 | 3² × 5² | 2 | 4 | 9 |
| 97 | 97 | 1 | 1 | 2 |
Üslerden pozitif bölen sayısı nasıl bulunur?
Farklı asal sayılar p, q ve r olmak üzere n = pa × qb × rc ise pozitif bölen sayısı (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) olur. Her böleni oluştururken p’nin üssü 0’dan a’ya kadar seçilebilir; bu da a + 1 seçenek verir. Diğer asalların seçenekleriyle çarpılır. Yazılmayan üs 1’dir.
225 asal çarpanlarına ayrıldığında 3² × 5² elde edilir. Pozitif bölen sayısı (2 + 1) × (2 + 1) = 9’dur. Kontrol için bölenleri yazalım: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75 ve 225. Asal çarpanlara ayırma formülleri içinde bu üs kuralı, bütün bölenleri tek tek listelemeden saymaya yarar.
6. sınıf, 8. sınıf ve TYT sorularında sonucu kullanma
Asal çarpanlara ayırma soruları çözerken önce istenenin ayrışım mı, farklı asal çarpanlar mı yoksa bölen sayısı mı olduğunu belirleyin. 6. sınıf düzeyindeki temel alıştırmalarda 60 için yalnızca 2, 3 ve 5’i yazmak ile 60 = 2² × 3 × 5 eşitliğini kurmak farklı cevap türleridir. Sonuç paneli bu ayrımı görünür tutar.
8. sınıf ve TYT çalışmalarında ayrışım başka bir işlemde kullanılabilir. Örneğin 72 = 2³ × 3² olduğundan, 72’yi tam kare yapacak en küçük pozitif tam sayı çarpanı 2’dir: 72 × 2 = 144 = 12². Tek üs olan 3’ü çift yapmak için bir tane daha 2 gerekir. Bu araç tek sayıyı ayrıştırır; iki sayının ortak bölenini veya ortak katını bulmak için EBOB EKOK hesaplama aracını kullanabilirsiniz.
0, 1, negatif sayılar ve giriş sınırı
1 asal değildir ve asal çarpanı yoktur. 0 da sonlu sayıda asalın çarpımıyla elde edilemez; her pozitif tam sayı 0’ı böldüğü için pozitif bölen sayısı sonsuzdur. Negatif sayılarda önce işaret ayrılır: -60 = -1 × 2² × 3 × 5. Buradaki -1 asal sayılmaz. -60’ın pozitif bölen sayısı, 60’ınki gibi 12’dir.
Mutlak değeri en fazla 1.000.000.000.000 olan tam sayılar kabul edilir. 1.200 veya 1.200,00 girişi 1200 olarak okunur; kesirli sayılar, bilimsel gösterim ve işlem ifadeleri kabul edilmez. Bu sınır, bölen aramasının tarayıcıda sınırlı kalmasını sağlar. Hesaplama için girdi sunucuya gönderilmez. Sonucu bölme adımlarıyla birlikte Kopyala düğmesinden alabilirsiniz.
Sık sorulan sorular
Bölmeye farklı bir asal sayıyla başlarsam sonuç değişir mi?
Hayır. Her adımda sayıyı tam bölen bir asal kullanıp işlemi 1’e kadar sürdürürseniz aynı asal çarpanları aynı tekrar sayılarıyla bulursunuz. Yalnızca yazılış sırası değişir. Bu özellik aritmetiğin temel teoremidir.
Farklı asal çarpanları aynı olan iki sayı eşit midir?
Üsleri de aynıysa eşittir. Örneğin 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3² sayılarının farklı asal çarpanları 2 ve 3’tür, fakat tekrar sayıları farklı olduğu için sayılar eşit değildir.
Pozitif bölen sayısı ne zaman tek olur?
Pozitif tam sayı bir tam kare olduğunda bölen sayısı tektir. Karekök dışındaki bölenler ikili eşleşir; karekök kendisiyle eşleşir. Örneğin 36’nın 9 pozitif böleni vardır ve eşleşmeden tek kalan bölen 6’dır. 1 de bir tam karedir ve tek pozitif böleni vardır.
Asal çarpanları toplayarak sayıyı bulabilir miyim?
Hayır. Ayrışım toplama değil çarpma ilişkisidir. 30’un asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir: 2 × 3 × 5 = 30, fakat 2 + 3 + 5 = 10 olur. Sayıyı kontrol ederken tekrar eden çarpanları da çarpıma katmalısınız.